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<title>[Fórmulas] Curso de Mecánica Teórica de Javier García</title>
<meta name="description" content="Repositorio de fórmulas para el Curso de Mecánica Teórica de Javier García">
<meta name="author" content="Raúl J. Vila">
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Repositorio de fórmulas para
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de <a target="_blank" href="https://www.youtube.com/user/jamesjamesbondbond">Javier García</a>
</h1>
<h3><a href="https://github.com/Crul/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia">Repositorio en GitHub</a></h3>
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<div id="menu">
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<a href="#capitulo-1">Capítulo 1</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-2">Capítulo 2</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=_6vYEdTQxCs&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
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<li>
<a href="#capitulo-3">Capítulo 3</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=DxnnbrTegIw&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
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<li>
<a href="#capitulo-4">Capítulo 4</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-5">Capítulo 5</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-6">Capítulo 6</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-7">Capítulo 7</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-8">Capítulo 8</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-9">Capítulo 9</a>
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<li>
<a href="#capitulo-10">Capítulo 10</a>
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<li>
<a href="#capitulo-11">Capítulo 11</a>
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<a href="#emmy-noether">Emmy Noether</a>
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<li>
<a href="#capitulo-14">Capítulo 14</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-15">Capítulo 15</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=QAspiivGD_M&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-16">Capítulo 16</a>
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<li>
<a href="#capitulo-17">Capítulo 17</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=DrMT3sHZ9LI&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
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<li>
<a href="#capitulo-18">Capítulo 18</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-19">Capítulo 19</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-20">Capítulo 20</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=KmEo3CLypcI&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-21">Capítulo 21</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=A50sgKPguro&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-22">Capítulo 22</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=0xoYC8Yr0uI&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-23">Capítulo 23</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=Tglf8OYiciU&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-24">Capítulo 24</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=vT8oCA-qRTA&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-25">Capítulo 25</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=YI_fZpm-IHU&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-26">Capítulo 26</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=F5hMeusKfr0&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-27">Capítulo 27</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=OJup08jITwA&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-28">Capítulo 28</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=UyLuGrTWKFM&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-29">Capítulo 29</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=joyt2FgOQlw&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-30">Capítulo 30</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=gMuDf6Csu2Q&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-31">Capítulo 31</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=0MT9nyl7Z48&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-32">Capítulo 32</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=kqyjbLoRmAg&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-33">Capítulo 33</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=Uu2h2NKoMMk&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-34">Capítulo 34</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=VmP7uFSTaxs&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-35">Capítulo 35</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=w2ux7cqxRIs&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-36">Capítulo 36</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=icD1EPA0sBs&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-36-ejercicio">Ejercicio C36</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=F43U1d7MRKs&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-37">Capítulo 37</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=IRrvBtHLvbc&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-38">Capítulo 38</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=n84sc5l3m9s&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-39">Capítulo 39</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=CwYdyvMENSQ&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-40">Capítulo 40</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=JpiK6DUQuu8&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-41">Capítulo 41</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=jX6g1dQfWjY&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-42">Capítulo 42</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=dPu6GE11BdA&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-43">Capítulo 43</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=iK913IKVekA&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-44">Capítulo 44</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=DoQLzGvUeOE&list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG">►</a>
</li>
</ul>
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</div>
</div>
<h2 id="capitulo-1"><a href="#capitulo-1" class="formulas-title">Capítulo 1: Principio de D'Alembert</a></h2>
<div class="capitulo-1 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(1.1) Principio de D'Alembert
<br/>para el caso estático:
</span>
<span class="formula">
\sum_i \vec{F}_i^{\text{(ext)}} \cdot \delta \vec{r}_i = 0
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(1.2) Momento de una fuerza:
</span>
<span class="formula">
\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}
</span>
<span class="formula">
M = d \cdot F_\bot
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-2"><a href="#capitulo-2" class="formulas-title">Capítulo 2: Euler-Lagrange 1</a></h2>
<div class="capitulo-2 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(2.1) Principio de D'Alembert
<br/>para el caso dinámico:
</span>
<span class="formula">
\sum_i \left( \dot{\vec{P}_i} - \vec{F}_i^{\text{(ext)}} \right) \cdot \delta \vec{r}_i = 0
</span>
<span class="formula">
\sum_i \left( m \vec{a}_i - \vec{F}_i^{\text{(ext)}} \right) \cdot \delta \vec{r}_i = 0
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(2.2) Fuerza generalizada:
</span>
<span class="formula">
Q \equiv \vec{F} \cdot \frac{ \partial \vec{r} }{ \partial q }
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(2.3) Energía cinética:
</span>
<span class="formula">
T = \frac{1}{2} m v^2
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(2.4) Ecuación de Euler-Lagrange para
<br/>una partícula con un grado de libertad (q):
</span>
<span class="formula">
\frac{d}{dt} \left[ \frac{ \partial T }{ \partial \dot{q} } \right]
- \frac{ \partial T }{ \partial q }
= \vec{F} \cdot \frac{ \partial \vec{r} }{ \partial q }
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(2.5) Función Lagrangiana
<br/>de una fuerza conservativa:
</span>
<span class="formula">
L = T - V
</span>
<span class="formula">
\vec{F} = - \overrightarrow{\nabla} V
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(2.6) Ecuación de Euler-Lagrange para
<br/>una partícula con un grado de libertad (q)
<br>con fuerzas conservativas:
</span>
<span class="formula">
\frac{d}{dt} \left[ \frac{ \partial L }{ \partial \dot{q} } \right]
- \frac{ \partial L }{ \partial q } = 0
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(2.7) Ecuaciones de Euler-Lagrange para
<br/>N partículas con n grados de libertad (j=1, ..., n):
</span>
<span class="formula">
\frac{d}{dt} \left[ \frac{ \partial T }{ \partial \dot{q}_j } \right]
- \frac{ \partial T }{ \partial q_j }
= \sum_{i=1}^{N} \vec{F}_i \cdot \frac{ \partial \vec{r}_i }{ \partial q_j }
</span>
<span class="formula-titulo">
Con:
</span>
<span class="formula">
T = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i v_i^2
</span>
<span class="formula">
V = \sum_{i=1}^{N} V_i
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(2.8) Ecuaciones de Euler-Lagrange para
<br/>N partículas con n grados de libertad (j=1, ..., n)
<br>con fuerzas conservativas:
</span>
<span class="formula">
\frac{d}{dt} \left[ \frac{ \partial L }{ \partial \dot{q}_j } \right]
- \frac{ \partial L }{ \partial q_j } = 0
</span>
<span class="formula-titulo">
Con:
</span>
<span class="formula">
T = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i v_i^2
</span>
<span class="formula">
V = \sum_{i=1}^{N} V_i
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(2.9) Componente j
<br/>de la fuerza generalizada:
</span>
<span class="formula">
Q_j \equiv \sum_{i=1}^{N} \vec{F_i} \cdot \frac{ \partial \vec{r_i} }{ \partial q_j }
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-3"><a href="#capitulo-3" class="formulas-title">Capítulo 3: Ejemplo Euler-Lagrange</a></h2>
<div class="capitulo-3 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<a class="no-formula" target="_blank" href="docs/Ejemplo Euler-Lagrange.m">
Código MATLAB
<div class="only-for-print">https://crul.github.io/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia/docs/Ejemplo Euler-Lagrange.m</div>
</a>
</div>
<br/>
<div class="grupo-formulas">
<span class="no-formula">
No hay fórmulas
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-4"><a href="#capitulo-4" class="formulas-title">Capítulo 4: Ejemplo Euler-Lagrange con fricción</a></h2>
<div class="capitulo-4 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(4.1) Ecuaciones de Euler-Lagrange para
<br/>N partículas con n grados de libertad (j=1, ..., n)
<br>con fuerzas de fricción:
</span>
<span class="formula">
\frac{d}{dt} \left[ \frac{ \partial L }{ \partial \dot{q}_j } \right]
- \frac{ \partial L }{ \partial q_j } = Q_j^{\text{(fricción)}}
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-5"><a href="#capitulo-5" class="formulas-title">Capítulo 5: Ejemplo Euler-Lagrange Rotación 2D</a></h2>
<div class="capitulo-5 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.1) Centro de masas
</span>
<span class="formula">
\vec{R}_{\text{CM}} \equiv \frac{ \sum\limits_i m_i \vec{r}_i }{ \sum\limits_i m_i }
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.2) Velocidad del centro de masas
</span>
<span class="formula">
\vec{V}_{\text{CM}} \equiv \frac{ \sum\limits_i m_i \vec{v}_i }{ \sum\limits_i m_i }
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.3) Lagrangiano de un sistema 2D
<br/>de N partículas con ligaduras rígidas:
</span>
<span class="formula">
L = \frac{ M_{\text{TOTAL}} }{2} V^2_{\text{CM}} + \frac{1}{2} \ I_{\text{CM}} \ \dot{\theta}^2
</span>
<span class="formula">
I_{\text{CM}} \equiv \text{\footnotesize Inercia del centro de masas}
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-6"><a href="#capitulo-6" class="formulas-title">Capítulo 6: Ejemplo Euler-Lagrange Modos Normales</a></h2>
<div class="capitulo-6 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<a class="no-formula" target="_blank" href="docs/Ejemplo Euler-Lagrange Modos Normales.m">
Código MATLAB
<div class="only-for-print">https://crul.github.io/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia/docs/Ejemplo Euler-Lagrange Modos Normales.m</div>
</a>
</div>
<br/>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(6.1) Ejercicio propuesto
</span>
<img src="img/ejercicio-6-1.svg" style="float: left; width: 90px; margin: 10px;" />
<div style="float: right">
<span class="formula formula-texto">
\begin{aligned}
\text{Dado }&\text{el sistema de la figura:} \\
\text{a) }&\text{Calcular el Lagrangiano} \\
\text{b) }&\text{Encontrar el cambio de coordenadas} \\
&\text{que diagonalice el Lagrangiano} \\
\text{c) }&\text{Resolver el sistema de ecuaciones}
\end{aligned}
</span>
</div>
<span class="formula-titulo" style="clear: both">
Soluciones enviadas:
</span>
<a class="no-formula" target="_blank" href="docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf">
Roger Balsach
<div class="only-for-print">https://crul.github.io/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf</div>
</a>
<a class="no-formula" target="_blank" href="docs/Herick Lopez - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf">
Herick Lopez
<div class="only-for-print">https://crul.github.io/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia/docs/Herick Lopez - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf</div>
</a>
<a class="no-formula" target="_blank" href="docs/Laura Incera - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf">
Laura Incera
<div class="only-for-print">https://crul.github.io/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia/docs/Laura Incera - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf</div>
</a>
<a class="no-formula" target="_blank" href="docs/Adrián Bernal - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf">
Adrián Bernal
<div class="only-for-print">https://crul.github.io/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia/docs/Adrián Bernal - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf</div>
</a>
<a class="no-formula" target="_blank" href="docs/Javier Almonte Espinal - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf">
Javier Almonte Espinal
<div class="only-for-print">https://crul.github.io/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia/docs/Javier Almonte Espinal - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf</div>
</a>
<a class="no-formula" target="_blank" href="docs/Antonio Barba - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf">
Antonio Barba
<div class="only-for-print">https://crul.github.io/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia/docs/Antonio Barba - Solución Ejercicio Capítulo 06.pdf</div>
</a>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-7"><a href="#capitulo-7" class="formulas-title">Capítulo 7: Potencial Generalizado: Campo Electromagnético</a></h2>
<div class="capitulo-7 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(7.1) Fuerza de Lorentz para
<br/>el caso no relativista
</span>
<span class="formula">
\vec{F} = q \left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right)
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(7.2) Definición
</span>
<span class="formula">
Q_j = \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial U }{ \partial \dot{q}_j } \right)
- \frac{ \partial U }{ \partial q_j }
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(7.3) Producto vectorial en 3D
</span>
<span class="formula">
\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}
</span>
<span class="formula">
c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2
</span>
<span class="formula">
c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3
</span>
<span class="formula">
c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(7.4) Teorema
</span>
<span class="formula">
\overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \overrightarrow{\nabla} \times \vec{A} \right) = 0
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(7.5) Ecuaciones de Maxwell
<br/>en el vacío
</span>
<span class="formula">
\overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{E} = 0
</span>
<span class="formula">
\overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{B} = 0
</span>
<span class="formula">
\overrightarrow{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{ \partial \vec{B} }{ \partial t }
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(7.6) Teorema
</span>
<span class="formula">
\overrightarrow{\nabla} \times \left( \overrightarrow{\nabla} f \right) = 0
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(7.7) Potencial generalizado electromagnético
</span>
<span class="formula">
U \equiv q A_0 - q \ \vec{v} \cdot \vec{A}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(7.8) Lagrangiano de una partícula
<br/>sometida a un campo electromagnético
</span>
<span class="formula">
L = \frac{m}{2} \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right)
- \left( q A_0 - q \ \vec{v} \cdot \vec{A} \right)
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(7.9) Potencial vector
</span>
<span class="formula">
A^\mu = \left( A_0, A_1, A_2, A_3 \right)
</span>
<span class="formula">
\vec{A} = \left( A_1, A_2, A_3 \right)
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-8"><a href="#capitulo-8" class="formulas-title">Capítulo 8: Principio de Hamilton</a></h2>
<div class="capitulo-8 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<a class="no-formula" target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=Dm9lRFkbJCw&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">
Capítulo 6 del Curso de Relatividad General
<div class="only-for-print">https://www.youtube.com/watch?v=Dm9lRFkbJCw&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25</div>
</a>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<a class="no-formula" target="_blank" href="https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/#capitulo-6">
Fórmulas
<div class="only-for-print">https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/#capitulo-6</div>
</a>
</div>
<br/>
<div class="grupo-formulas">
<a class="no-formula" target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=64jolFAwx4o&list=PLAnA8FVrBl8BiQd_Fg-Jr32P_v9F8vG-2">
Capítulo 19 del Curso de Teoría Cuántica de Campos
<div class="only-for-print">https://www.youtube.com/watch?v=64jolFAwx4o&list=PLAnA8FVrBl8BiQd_Fg-Jr32P_v9F8vG-2</div>
</a>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<a class="no-formula" target="_blank" href="https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/#capitulo-19">
Fórmulas
<div class="only-for-print">https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/#capitulo-19</div>
</a>
</div>
<br/>
<div class="grupo-formulas">
<a class="no-formula" target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=R-_LrxzYQx4">
Charla AULA 141 - Funcionales en Física Teórica
<div class="only-for-print">https://www.youtube.com/watch?v=R-_LrxzYQx4</div>
</a>
</div>
<br/>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(8.1) Dado el funcional acción:
</span>
<span class="formula">
S = \int_{t_1}^{t_2} L \left( q_j, \dot{q}_j, t \right) dt
</span>
<span class="formula-titulo">
el sistema evolucionará en el
<br/>tiempo siguiendo las ecuaciones:
</span>
<span class="formula">
\frac{ \partial L }{ \partial q_j }
- \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L }{ \partial \dot{q}_j } \right) = 0
</span>
<span class="formula-titulo">
o, lo que es lo mismo:
</span>
<span class="formula">
\frac{ \delta S }{ \delta q_j } = 0 \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \delta S = 0
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-9"><a href="#capitulo-9" class="formulas-title">Capítulo 9: Ligaduras No Holónomas</a></h2>
<div class="capitulo-9 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(9.1) Ligaduras no holónomas
</span>
<span class="formula">
\sum_{j=1}^n a_{ij} \dot{q}_j = -a_{i0}
</span>
<span class="formula">
\sum_{j=1}^n a_{ij} dq_j = -a_{i0} dt
</span>
<span class="formula">
i = 1, ..., p
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(9.2) Ecuaciones de Euler-Lagrange
<br/>con ligaduras no holónomas
</span>
<span class="formula">
\frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L }{ \partial \dot{q}_j } \right)
- \frac{ \partial L }{ \partial q_j } = \sum_{i=1}^p \lambda_i a_{ij}
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-10"><a href="#capitulo-10" class="formulas-title">Capítulo 10: Ligaduras No Holónomas - Ejemplo</a></h2>
<div class="capitulo-10 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="no-formula">
No hay fórmulas
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-11"><a href="#capitulo-11" class="formulas-title">Capítulo 11: Transformación de Legendre</a></h2>
<div class="capitulo-11 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(11.1) Transformación de Legendre
</span>
<span class="formula">
g(p) = \hat{A} \ f(x)
</span>
<span class="formula">
\hat{A} = \left[ x \frac{d}{dx} - 1 \right]
</span>
<span class="formula">
p = \frac{df}{dx}
</span>
<span class="formula-titulo">
que cumple:
</span>
<span class="formula">
f(x) = \hat{A} \ g(p)
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(11.2) Transformación de Legendre de L(q<sub>j</sub>, q̇<sub>j</sub>)
</span>
<span class="formula">
H \left( q_j, p_j \right) = \sum_{i=1}^n \left[ p_i \dot{q}_i - L \left( q_j, \dot{q}_j \right) \right]
</span>
<span class="formula">
p_i = \frac{ \partial L }{ \partial \dot{q}_i }
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-12"><a href="#capitulo-12" class="formulas-title">Capítulo 12: Hamiltoniano VS Energía</a></h2>
<div class="capitulo-12 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.1) Función homogénea de grado n
</span>
<span class="formula">
f \left( \lambda x, \lambda y, ... \right) =
\lambda^n f \left( x, y, ... \right)
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.2) Teorema de Euler para
<br/>funciones homogéneas
</span>
<span class="formula">
x_1 \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } + \dots +
x_p \frac{ \partial f }{ \partial x_p } = n f
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.3) Hamiltoniano
</span>
<span class="formula">
H \left( q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n \right) =
\sum_{i=1}^{n} \frac{ \partial L }{ \partial \dot{q}_i } \dot{q}_i - L
</span>
<span class="formula">
p_i = \frac{ \partial L }{ \partial \dot{q}_i }
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.4)
</span>
<span class="formula">
- \frac{ \partial L }{ \partial t } = \frac{dH}{dt}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.5) Energía cinética
<br/>(coodenadas cartesianas)
</span>
<span class="formula">
T = \frac{m}{2} \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right)
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.6) Energía cinética
<br/>(coodenadas esféricas)
</span>
<span class="formula">
T = \frac{m}{2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\phi}^2 \right)
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.7) Energía cinética
<br/>dada la métrica g<sub>ij</sub>
<br/>de las coordenadas {x<sup>j</sup>}
</span>
<span class="formula">
T = \frac{m}{2} g_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.8)
</span>
<span class="formula">
H = E = T + V
\ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \
\begin{aligned}
&\text{\footnotesize a) T homogénea de grado 2 en las variables } \dot{q} \\
&\text{\footnotesize b) V solo depende de las q}
\end{aligned}
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-13"><a href="#capitulo-13" class="formulas-title">Capítulo 13: Ecuaciones de Hamilton</a></h2>
<div class="capitulo-13 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(13.1) Hamiltoniano
</span>
<span class="formula">
H = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i - L
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(13.2) Momento
<br/>canónico conjugado
</span>
<span class="formula">
p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(13.3) Derivada de H
<br/>con respecto del tiempo
</span>
<span class="formula">
\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t}
</span>
<span class="formula">
\frac{dH}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(13.4) Ecuaciones de Hamilton
</span>
<span class="formula">
\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}
</span>
<span class="formula">
\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(13.5) Leyes de conservación
</span>
<span class="formula">
\text{Si } H \neq H(t) \Longrightarrow H = \text{constante}
</span>
<span class="formula">
\text{Si } H \neq H(q_j) \Longrightarrow p_j = \text{constante}
</span>
</div>
</div>
<h2 id="emmy-noether"><a href="#emmy-noether" class="formulas-title">Emmy Noether, la gran matemática</a></h2>
<div class="emmy-noether formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="no-formula">
No hay fórmulas
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-14"><a href="#capitulo-14" class="formulas-title">Capítulo 14: Teorema de Noether - Parte 1</a></h2>
<div class="capitulo-14 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(14.1) Simetría
</span>
<span class="formula">
\begin{cases}
x \rightarrow x' \\
t \rightarrow t'
\end{cases}
\Longrightarrow
S \left[ x' \left( t' \right) \right] =
S \left[ x \left( t \right) \right]
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(14.2) Transformación conforme
</span>
<span class="formula">
x'(t) = \lambda x(t)
</span>
<span class="formula">
t' = \lambda^2 t
</span>
<span class="formula-titulo">
o bien:
</span>
<span class="formula">
x'(t) = e^\varepsilon x(t)
</span>
<span class="formula">
t' = e^{2 \varepsilon} t
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(14.3) Transformación infinitesimal
<br/>conforme a primer orden en ε
</span>
<span class="formula">
\delta x \simeq \varepsilon \left( x - 2 \dot{x} t \right)
</span>
<span class="formula">
\delta t \simeq \varepsilon 2 t
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-15"><a href="#capitulo-15" class="formulas-title">Capítulo 15: Teorema de Noether - Parte 2</a></h2>
<div class="capitulo-15 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(15.1) Variación de una función
<br/>según el vector n<span class="over-previous-char">⃗</span>
</span>
<span class="formula">
\delta f = \vec{n} \cdot \overrightarrow{\nabla} f
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(15.2) Variación de una función en la dirección de una simetría
</span>
<span class="formula">
\left( \delta f \right)_S =
\left( \delta x_1 \right)_S \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } +
\left( \delta x_2 \right)_S \frac{ \partial f }{ \partial x_2 } +
\cdots +
\left( \delta x_n \right)_S \frac{ \partial f }{ \partial x_n }
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(15.3) Variación del Lagrangiano
<br/>en la dirección de una simetría
</span>
<span class="formula">
\left( \delta f \right)_S =
\left( \delta x \right)_S \frac{ \partial L }{ \partial x } +
\left( \delta \dot{x} \right)_S \frac{ \partial L }{ \partial \dot{x} } +
\left( \delta t \right)_S \frac{ \partial L }{ \partial t }
</span>
<span class="formula-titulo">
En donde:
</span>
<span class="formula">
\delta \dot{x} = \frac{d}{dt} \left( \delta x \right)
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(15.4) Hay simetría si existe
<br/>una función K tal que:
</span>
<span class="formula">
\left( \delta L \right)_S = \varepsilon \frac{dK}{dt}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(15.5) Variación del Lagrangiano en cualquier dirección,
<br/>imponiendo Euler-Lagrange:
</span>
<span class="formula">
\left( \delta L \right)_{E-L} =
\left( \delta t \right)_S \frac{ \partial L }{ \partial t } +
\frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L }{ \partial \dot{x} } \left( \delta x \right)_S \right)
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(15.6) Teorema de Noether 1D
</span>
<span class="formula">
\text{\footnotesize Si } \left( \delta x \right)_S \text{ \footnotesize es una simetría infinitesimal de } L
</span>
<span class="formula">
\Longrightarrow
</span>
<span class="formula">
\varepsilon \frac{dK}{dt} =
\left( \delta t \right)_S \frac{ \partial L }{ \partial t } +
\frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L }{ \partial \dot{x} } \left( \delta x \right)_S \right)
</span>
<span class="formula-titulo">
Caso particular:
</span>
<span class="formula">
L \neq L(t)
</span>
<span class="formula">
\left( \delta x \right)_S = \varepsilon \phi
</span>
<span class="formula">
\text{\footnotesize Si } \left( \delta x \right)_S = \varepsilon \phi \text{ \footnotesize es una simetría infinitesimal de } L
</span>
<span class="formula">
\Longrightarrow
</span>
<span class="formula">
Q = \frac{ \partial L }{ \partial \dot{x} } \phi - K = \text{ constante}