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思路

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题目提供两个数组A，B。

首先，让我们在任一位置 i 将 A 划分成两个部分：

      left_A             |        right_A
A[0], A[1], ..., A[i-1]  |  A[i], A[i+1], ..., A[m-1]

由于 A 中有 m 个元素， 所以我们有 m+1 种划分的方法（i = 0 ∼ m）。

我们知道：

len(left_A) = i, len(right_A) = m − i。

注意：当i = 0 时， left_A为空集，当i = m 时，right_A为空集。

采用同样的方式，我们在任一位置 j 将 B 划分成两个部分：

      left_B             |        right_B
B[0], B[1], ..., B[j-1]  |  B[j], B[j+1], ..., B[n-1]

将left_A与left_B放入一个集合left_part，并将right_A与right_B放入一个集合right_part。

      left_part          |        right_part
A[0], A[1], ..., A[i-1]  |  A[i], A[i+1], ..., A[m-1]
B[0], B[1], ..., B[j-1]  |  B[j], B[j+1], ..., B[n-1]

如果我们已经将集合{A,B}中的所有元素划分为相同长度的两个部分，且其中一部分中的元素总是大于另一部分中的元素。即满足以下条件：

1. len(left_part) = len(right_part)
2. max(left_part) <= min(right_part)

中位数：

median = (max(left_part) + min(right_part)) / 2

要确保这两个条件，我们需要保证：

1. i + j = m - i + n - j (或 m - i + n - j + 1) （前者为偶数，后者为奇数）
   如果 n >= m 只需要使 i = 0 ~ m， j = ((m + n + 1) / 2) - i
   PS：这里默认n >= m 确保 j 不是负数，使用奇数的公式，在代码中计算时直接利用 整除2 的特性同时包括奇偶两种情况。
2. B[j-1] <= A[i] && A[i-1] <= B[j]

核心思路：

在[0,m]区间中找到满足条件的i，使得

B[j-1] <= A[i] && A[i-1] <= B[j]

接下来，采用二分法进行搜索。

1. 设imin = 0， imax = m。然后在[imin,imax]区间内进行搜索。

2. 令 i = (imin + imax) / 2，j = ((m + n + 1) / 2) - i

3. 此时len(left_part) = len(right_part)，分三种情况考虑

   • B[j-1] <= A[i] && A[i-1] <= B[j]
     即我们成功找到了i的位置。
   • i < imax && B[j-1] > A[i]
     此时我们需要增加 i ，即将区间进行调整为[i+1,imax]区间内，返回步骤2重新进行搜索。PS：此处可推出 j > 0。
   • i > imin && A[i-1] > B[j]
     此时我们需要减小 i ，即将区间进行调整为[imin,i-1]区间内，返回步骤2重新进行搜索。PS：此处可推出 j < n。

当找到目标对象 i 时，中位数res为：

1. m + n 为奇数时，maxLeft = max(A[i-1],B[j-1])， res = maxLeft
2. m + n 为偶数时，maxLeft = max(A[i-1],B[j-1])， minRight = min(A[i],B[j])， res = (maxLeft + minRight) / 2.0

现在来考虑以下临界值 i = 0, i = m, j = 0, j = n的情况。（我们只需考虑找到目标对象 i 的前提下）

当 i = 0 时，A[i-1]不存在，即A全部在right_part，所以maxLeft必为B[j-1]。  
当 j = 0 时，B[j-1]不存在，即B全部在right_part，maxLeft必为A[i-1]。  
当 i = m 时, A全部在left_part，所以minRight必为B[j]。  
当 j = n 时，B全部在left_part，所以minRight必为A[i]。