Size
Size (ukuran) terhadap suatu bangun adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan cara menilai jumlah objek, waktu, atau situasi sesuai dengan aturan atau pedoman tertentu.
Kurva elips memiliki sejarah panjang dan berbeda yang dapat ditelusuri kembali ke zaman kuno. Mereka lazim di banyak cabang matematika modern, utamanya: teori bilangan .
Secara sederhana, seseorang dapat menggambarkan kurva ini dengan menggunakan persamaan kubik dari formulir
di mana A dan B adalah bilangan rasional yang tetap (untuk memastikan kurva E bagus dan mulus di mana-mana, kita juga perlu mengasumsikan bahwa diskriminan 4A 3 + 27B 2 adalah bukan nol).
Sebagai ilustrasi, mari kita perhatikan contoh: memilih A = -1 dan B = 0, kita memperoleh gambar berikut:
Pada titik ini menjadi jelas bahwa, terlepas dari namanya, kurva elips tidak ada hubungannya dengan elips!
Alasan kebingungan historis ini adalah bahwa kurva ini memiliki hubungan kuat dengan integral elips , yang muncul ketika menggambarkan gerakan benda-benda planet di ruang angkasa.
Matematikawan Yunani kuno Diophantus dianggap oleh banyak orang sebagai bapak aljabar. Karya matematika utamanya ditulis dalam buku tebal Arithmetica yang pada dasarnya adalah buku teks sekolah untuk para genius.
Di dalamnya, ia menjabarkan banyak alat untuk mempelajari solusi untuk persamaan polinomial dengan beberapa variabel, disebut Persamaan Diophantine untuk menghormatinya.
Salah satu masalah utama Diophantus dianggap adalah untuk menemukan semua solusi untuk persamaan polinomial tertentu yang terletak pada bidang rasional nomor Q .
Untuk persamaan "derajat dua" (lingkaran, elips, parabola , hiperbola ) sekarang kita memiliki jawaban lengkap untuk masalah ini.
Jawaban ini berkat almarhum ahli matematika Jerman Helmut Hasse , dan memungkinkan seseorang untuk menemukan semua poin seperti itu, jika ada.
Kembali ke kurva elliptic E kita, masalah yang analog adalah menemukan semua solusi rasional (x, y) yang memenuhi persamaan yang mendefinisikan E. Jika kita menyebut himpunan titik E (Q) ini, maka kita bertanya apakah ada algoritma yang memungkinkan kita untuk mendapatkan semua poin (x, y) milik E (Q).
Pada titik ini kita perlu memperkenalkan undang-undang grup tentang E, yang memberikan cara eksentrik menyatukan dua poin (p₁ dan p₂) pada kurva, untuk mendapatkan poin baru (p₄). Ini meniru hukum penjumlahan untuk angka yang kita pelajari sejak kecil (yaitu jumlah atau perbedaan dari dua angka masih berupa angka). Ada ilustrasi aturan ini di bawah ini:
Di bawah model geometrik ini, titik p₄ didefinisikan sebagai jumlah dari p₁ dan p₂ (mudah untuk melihat bahwa hukum penjumlahan tidak tergantung pada urutan poin p₁, p₂). Selain itu, himpunan poin-poin rasional dilestarikan oleh gagasan penambahan ini; dengan kata lain, penjumlahan dari dua poin rasional adalah lagi poin yang rasional.
Louis Mordell , yang adalah Profesor Sadleirian untuk Matematika Murni di Universitas Cambridge dari tahun 1945 hingga 1953, adalah orang pertama yang menentukan struktur kelompok titik-titik rasional ini. Pada 1922 ia membuktikan
di mana jumlah salinan bilangan bulat Z di atas disebut "peringkat r (E) dari kurva eliptik E". Grup hingga Τ E (Q) pada akhirnya tidak menarik, karena tidak pernah memiliki lebih dari 16 elemen.
Twin Primes:
(5,7), (11,13), (17,19)
layer| i | f
-----+-----+------
| 1 | (5) -------
1 +-----+ |
| 2 | (7) |
-----+-----+------ |
| 3 | (11) ‹--3x--
2 +-----+ |
| 4 | (13) |
-----+-----+------ |
| 5 | (17) ‹--2x--
3 +-----+
| 6 | (19)
-----+-----+------
Permutation:
66 = 6 & 6
6 + 6 = 12
5 + 7 = 12 = d(3)
11 + 13 = 24 = d(6)
17 + 19 = 6 x 6 = d(9)
6 + 6 » d(3,6,9) » 6 x 6
Posisi ini diapit oleh angka nol (0) dan tiga (3). Sehingga muncul urutan angka tujuhpuluh satu (71), sembilanpuluh empat (94), duapuluh lima (25), dan berujung di delapanpuluh enam (86).
